Серым цветом выделен лишний кортеж, отсутствующий в отношении
. Аналогично (в силу соображений симметрии) и другие попарные соединения не восстанавливают отношения
.
Однако отношение
восстанавливается соединением всех трех проекций:
.
Это говорит о том, что между атрибутами этого отношения также имеется некоторая зависимость, но эта зависимость не является ни функциональной, ни многозначной зависимостью.
Определение 5. Пусть
является отношением, а
,
, -,
- произвольными (возможно пересекающимися) подмножествами множества атрибутов отношения
. Тогда отношение
удовлетворяет зависимости соединения
тогда и только тогда, когда оно равносильно соединению всех своих проекций с подмножествами атрибутов
,
, -,
, т.е.
.
Можно предположить, что отношение
в примере 3 удовлетворяет следующей зависимости соединения:
.
Утверждать, что это именно так мы пока не можем, т.к. определение зависимости соединения должно выполняться для любого состояния отношения
, а не только для состояния, приведенного в примере.
Покажем, что зависимость соединения является обобщением понятия многозначной зависимости. Действительно, согласно теореме Фейджина, отношение
может быть декомпозировано без потерь на проекции
и
тогда и только тогда, когда имеется многозначная зависимость
. Согласно определению зависимости соединения, теорема Фейджина может быть переформулирована следующим образом:
Теорема Фейджина (другая формулировка). Отношение
удовлетворяет зависимости соединения
тогда и только тогда, когда имеется многозначная зависимость
.
Т.к. теорема Фейджина является взаимно обратной, то ее можно взять в качестве определения многозначной зависимости. Таким образом, многозначная зависимость является частным случаем зависимости соединения, т.е., если в отношении имеется многозначная зависимость, то имеется и зависимость соединения. Обратное, конечно, неверно.
Определение 6. Зависимость соединения
называется нетривиальной зависимостью соединения, если выполняется два условия:
Одно из множеств атрибутов
не содержит потенциального ключа отношения
.
Ни одно из множеств атрибутов не совпадает со всем множеством атрибутов
отношения
.
Для удобства работы сформулируем это определение так же и в отрицательной форме:
Определение 7. Зависимость соединения
называется тривиальной зависимостью соединения, если выполняется одно из условий:
Либо все множества атрибутов
содержат потенциальный ключ отношения
.
Либо одно из множеств атрибутов совпадает со всем множеством атрибутов отношения
.
Определение 8. Отношение
находится в пятой нормальной форме (5НФ) тогда и только тогда, когда любая имеющаяся зависимость соединения является тривиальной.
Определения 5НФ может стать более понятным, если сформулировать его в отрицательной форме:
Определение 9. Отношение
не находится в 5НФ, если в отношении найдется нетривиальная зависимость соединения.
Возвращаясь к примеру 3, становится понятно, что не зная ничего о том, какие потенциальные ключи имеются в отношении и как взаимосвязаны атрибуты, нельзя делать выводы о том, находится ли данное отношение в 5НФ (как, впрочем, и в других нормальных формах). По данному конкретному примеру можно только предположить, что отношение в примере 3 не находится в 5НФ. Предположим, что анализ предметной области позволил выявить следующие зависимости атрибутов в отношении
:
(i) Отношение
является полностью ключевым (т.е. потенциальным ключом отношения является все множество атрибутов).
(ii) Имеется следующая зависимость (довольно странная, с практической точки зрения): если в отношении
содержатся кортежи
,
и
, то отсюда следует, что в отношении
содержится также и кортеж
.
Утверждение. Докажем, что при наличии ограничений (i) и (ii), отношение находится в 4НФ, но не в 5НФ.
Доказательство. Покажем, что отношение
находится в 4НФ. Согласно определению 4НФ, необходимо показать, что отношение находится в НФБК и не содержит нетривиальных многозначных зависимостей. Т.к. отношение является полностью ключевым, то оно автоматически находится в НФБК. Если бы в отношении имелась многозначная зависимость (необязательно нетривиальная), то, согласно теореме Фейджина, отношение можно было бы декомпозировать без потерь на две проекции. Но пример 3 показывает, что таких декомпозиций нет (здесь мы воспользовались тем, что для доказательства возможности декомпозиции необходимо доказать ее для всех возможных состояний отношения, а для доказательства невозможности достаточно привести один контрпример). Поэтому в отношении нет никаких многозначных зависимостей.
Покажем, что отношение не находится в 5НФ. Для этого нужно привести пример нетривиальной зависимости соединения. Естественным кандидатом на нее является
. Если это действительно зависимость соединения, то она нетривиальна. Действительно, ни одно из множеств атрибутов
,
и
не совпадает с множеством всех атрибутов отношения
и не содержит потенциального ключа.
Но является ли такая декомпозиция именно зависимостью соединения? Для этого нужно показать, что декомпозиция на три проекции
,
и
является декомпозицией без потерь для любого состояния отношения
(именно здесь содержится ключевая тонкость, обычно пропускаемая при анализе конкретного состояния отношения
в примере 3, и именно здесь нам понадобятся знания о предметной области, выраженные в утверждении (ii)).
Как и в предыдущих доказательствах, нужно доказать, что
для любого состояния отношения
.
Включение
доказывается как в теореме Хеза. Такое включение выполняется всегда для любой декомпозиции отношения
.
Докажем включение
.
Пусть кортеж
. Это означает, что в проекции
содержится кортеж
, в проекции
содержится кортеж
, а в проекции
содержится кортеж
. По определению проекции, найдутся такие значения
,
,
атрибутов
,
и
соответственно, что отношение
содержит кортежи
,
и
. Но тогда по условию (ii) в отношении
содержится также и кортеж
. Этим доказано необходимое включение. Утверждение доказано.
